Từ hàm lượng giác của góc nhọn ở cấp trung học cơ sở (cạnh đối / cạnh huyền), khi chúng ta phải đối mặt với các góc lớn hơn $90^\circ$ hay góc âm, tam giác vuông về mặt hình học sẽ không còn phù hợp. Lúc này,đường tròn đơn vịđã trở thành công cụ cốt lõi để thống nhất mọi góc và định nghĩa hàm lượng giác.
1. Định nghĩa hàm lượng giác cho góc bất kỳ
Giả sử $\alpha$ là một góc bất kỳ, tia cuối của nó cắt đường tròn đơn vị tại điểm $P(x, y)$, khi đó ta định nghĩa:
- Sin (Sine): $\sin \alpha = y$
- Cos (Cosine): $\cos \alpha = x$
- Tan (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
Nếu điểm $P(x, y)$ nằm trên đường tròn bán kính $r$, thì $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$.
2. Các công thức cơ bản liên quan đến cùng một góc
Từ phương trình của đường tròn đơn vị $x^2 + y^2 = 1$ suy ra trực tiếp:
1. Mối quan hệ bình phương: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. Mối quan hệ thương số: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. Mối quan hệ thương số: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
1. Thu thập các hạng tử của đa thức: một hình vuông x², ba dải hình chữ nhật x, và hai hình vuông đơn vị 1×1.
2. Bắt đầu ghép nối chúng theo cách hình học.
3. Chúng đã tạo thành một hình chữ nhật lớn hơn hoàn hảo! Chiều rộng là (x+2), chiều cao là (x+1).
CÂU HỎI 1
Hãy viết tập hợp các góc có cùng tia cuối với $60^\circ$ và tìm các phần tử $\beta$ thỏa mãn bất đẳng thức $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$.
Tập hợp $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; các phần tử $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
Tập hợp $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; các phần tử $\beta = 60^\circ$
Tập hợp $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; các phần tử $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
Tập hợp $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$; các phần tử $\beta = 60^\circ$
Đúng! Các góc có cùng tia cuối hơn kém nhau bội số nguyên của $360^\circ$. Khi $k=0$ thì $\beta=60^\circ$, khi $k=-1$ thì $\beta=-300^\circ$, đều thỏa mãn điều kiện khoảng giá trị.
Gợi ý: Dạng tổng quát của các góc có cùng tia cuối là $k \cdot 360^\circ + \alpha$. Hãy tìm các giá trị $k$ thỏa mãn trong khoảng này.
CÂU HỎI 2
Biết rằng $\alpha$ là góc nhọn, vậy $2\alpha$ là ( ).
góc ở góc phần tư thứ nhất
góc ở góc phần tư thứ hai
góc dương nhỏ hơn $180^\circ$
góc ở góc phần tư thứ nhất hoặc thứ hai
正确。因为 $\alpha$ 是锐角，即 $0^\circ < \alpha < 90^\circ$，所以 $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$。注意 $2\alpha$ 可能是直角，不一定属于某个象限。
Lưu ý: Phạm vi góc nhọn là $(0, 90^\circ)$, phạm vi sau khi nhân đôi là $(0, 180^\circ)$. Bao gồm cả góc phần tư thứ nhất, góc phần tư thứ hai và giới hạn $90^\circ$.
CÂU HỎI 3
Biết rằng tia cuối của góc $\theta$ đi qua điểm $P(-12, 5)$, hãy tìm giá trị của $\sin \theta$.
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
Đúng! Trước tiên tính $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$. Theo định nghĩa, $\sin \theta = y/r = 5/13$.
Tính $r$: $r = \sqrt{x^2+y^2}$. Định nghĩa giá trị sin là $y/r$.
CÂU HỎI 4
(Trả lời miệng) Giả sử $\alpha$ là một góc trong tam giác, trong $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$, những hàm nào có thể nhận giá trị âm?
Chỉ có $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ và $\tan \alpha$
Cả ba đều có thể
Chỉ có $\tan \alpha$
Đúng. Phạm vi góc trong tam giác là $(0, \pi)$. Ở góc phần tư thứ nhất $(0, \pi/2)$, tất cả đều dương; ở góc phần tư thứ hai $(\pi/2, \pi)$ (góc tù), sin dương, cos và tan đều âm.
Gợi ý: Góc trong tam giác có thể là góc nhọn, góc vuông hoặc góc tù. Hãy xét dấu của hàm số khi góc tù nằm ở góc phần tư thứ hai.
CÂU HỎI 5
Dùng phương pháp 5 điểm vẽ đồ thị của $y = -\sin x$ trên đoạn $[-\pi, \pi]$, điểm nào dưới đây không phải là điểm quan trọng?
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
Đúng. Phương pháp 5 điểm thường chọn các điểm bằng một phần tư chu kỳ, tức là $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ và giá trị tương ứng của hàm số. $\pi/4$ không phải là điểm quan trọng tiêu chuẩn của phương pháp 5 điểm.
Phương pháp 5 điểm chọn các vị trí quan trọng nơi hàm số đạt cực trị và điểm bằng 0.
CÂU HỎI 6
Trong các hàm số sau, hàm nào vừa là hàm lẻ vừa có chu kỳ là $\pi$?
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
Đúng. $y = \sin 2x$ là hàm lẻ và chu kỳ $T = 2\pi/2 = \pi$. Lưu ý rằng $y = \tan x$ cũng là hàm lẻ và có chu kỳ $\pi$, nhưng $\sin 2x$ thường được dùng làm đáp án chuẩn cho loại bài này ở cấp trung học phổ thông, và $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ cũng thỏa mãn điều kiện (tùy chọn A trực tiếp hơn).
Kiểm tra công thức chu kỳ $T = 2\pi/\omega$ và tính chẵn lẻ $f(-x) = -f(x)$.
CÂU HỎI 7
Không cần tính giá trị, hãy so sánh kích thước giữa $\cos \frac{2\pi}{7}$ và $\cos(-\frac{3\pi}{5})$.
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
Bằng nhau
Không thể so sánh
Đúng. $\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$. Vì $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$, và hàm cosin đồng biến trên $[0, \pi]$, nên góc nhỏ hơn sẽ có giá trị cosin lớn hơn.
Gợi ý: Sử dụng công thức góc phụ $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Và so sánh độ lớn của góc trong cùng một khoảng đơn điệu.
CÂU HỎI 8
Biết hàm số $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, chu kỳ dương nhỏ nhất của nó là ( ).
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
Đúng. Theo công thức chu kỳ $T = 2\pi / |\omega|$, ở đây $\omega = 2$, do đó $T = 2\pi / 2 = \pi$.
Công thức chu kỳ: $T = 2\pi / \omega$.
CÂU HỎI 9
Tìm giá trị của $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$.
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
Đúng. Sử dụng phép đảo ngược công thức góc kép: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Do đó $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1/4$.
Gợi ý: Sử dụng công thức góc kép $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
CÂU HỎI 10
Biết rằng $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$, vậy giá trị của $\tan \beta$ là ( ).
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
Đúng. Bình phương hai vế: $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$. Vì tổng là $1/5 > 0$ và tích âm, nên $\sin \beta > 0, \cos \beta < 0$ (góc phần tư thứ hai). Giải hệ phương trình ta được $\sin \beta = 4/5, \cos \beta = -3/5$, do đó $\tan \beta = -4/3$.
Gợi ý: Bình phương phương trình để tìm $\sin \beta \cos \beta$, kết hợp với $\sin^2 + \cos^2 = 1$ để giải ra giá trị cụ thể của sin và cos.
Thử thách: Mô hình hóa lượng giác cho vòng quay khổng lồ
Phân tích hiện tượng tuần hoàn thực tế
Một vòng quay khổng lồ có điểm cao nhất cách mặt đất 120m, điểm thấp nhất cách mặt đất 10m, vòng quay mất 30 phút để hoàn thành một vòng. Giả sử vòng quay chuyển động đều, du khách bắt đầu đếm thời gian khi bước vào cabin từ điểm thấp nhất.
Câu hỏi 1
Hãy tìm biểu thức hàm số mô tả chiều cao $h$ (m) của du khách so với mặt đất theo thời gian $t$ (phút).
Giải thích chi tiết:
1. Biên độ $A$: Bán kính là $(120 - 10) / 2 = 55$m.
2. Dịch chuyển theo chiều thẳng đứng $k$: Chiều cao trung tâm là $(120 + 10) / 2 = 65$m.
3. Tốc độ góc $\omega$: Chu kỳ $T=30$, vậy $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Pha $\phi$: Khi $t=0$ thì ở điểm thấp nhất $h=10$. Đặt $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Khi $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Biểu thức giải tích: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ hoặc $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
1. Biên độ $A$: Bán kính là $(120 - 10) / 2 = 55$m.
2. Dịch chuyển theo chiều thẳng đứng $k$: Chiều cao trung tâm là $(120 + 10) / 2 = 65$m.
3. Tốc độ góc $\omega$: Chu kỳ $T=30$, vậy $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Pha $\phi$: Khi $t=0$ thì ở điểm thấp nhất $h=10$. Đặt $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Khi $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Biểu thức giải tích: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ hoặc $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
Câu hỏi 2
Sau khi du khách bắt đầu quay được 5 phút, chiều cao cách mặt đất là bao nhiêu?
Giải thích chi tiết:
Thay $t=5$ vào công thức:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m.
Kết luận: Chiều cao là 37.5 mét.
Thay $t=5$ vào công thức:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m.
Kết luận: Chiều cao là 37.5 mét.
Câu hỏi 3
Nếu cabin di chuyển đều, sau nửa chu kỳ, sự thay đổi vị trí của cabin được thể hiện như thế nào trên hình chiếu của đường tròn đơn vị?
Giải thích chi tiết:
Sau nửa chu kỳ (15 phút), góc tăng thêm $\pi$ radian. Trên đường tròn đơn vị, điều này có nghĩa là điểm $P(x, y)$ quay sang điểm đối xứng qua gốc tọa độ là $P'(-x, -y)$. Trong hàm lượng giác được thể hiện bởi công thức góc phụ: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Do đó, nếu ban đầu ở điểm thấp nhất, sau nửa chu kỳ chắc chắn sẽ ở điểm cao nhất.
Sau nửa chu kỳ (15 phút), góc tăng thêm $\pi$ radian. Trên đường tròn đơn vị, điều này có nghĩa là điểm $P(x, y)$ quay sang điểm đối xứng qua gốc tọa độ là $P'(-x, -y)$. Trong hàm lượng giác được thể hiện bởi công thức góc phụ: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Do đó, nếu ban đầu ở điểm thấp nhất, sau nửa chu kỳ chắc chắn sẽ ở điểm cao nhất.
✨ Điểm chính
Trên đường tròn đơn vịxem tọa độ,$y$ là sin $x$ là cos.Bình phương cộng lạiluôn bằng một,Tỉ số tangvĩnh viễn lưu truyền!
💡 Tọa độ chính là giá trị hàm số
Hãy nhớ rằng 'đường tròn đơn vị' là cốt lõi. Hoành độ $x$ của điểm giao nhau giữa tia cuối và đường tròn đơn vị chính là $\cos \alpha$, tung độ $y$ chính là $\sin \alpha$, không cần chia thêm cho bán kính nữa.
💡 Câu đố về dấu của các góc phần tư
“Một toàn dương, hai sin, ba tan, bốn cos”. Điều này quyết định bạn chọn dấu dương hay âm khi thực hiện phép khai căn (ví dụ: tìm cos từ sin).
💡 Miền xác định của hàm tan
Vì $\tan \alpha = y/x$, khi tia cuối nằm trên trục $y$ (tức là $\alpha = k\pi + \pi/2$), thì $x=0$, lúc này giá trị tan không xác định.
💡 Nhắc nhở về đơn vị radian
Khi áp dụng công thức Taylor hoặc mô hình chu kỳ vật lý ($T=2\pi/\omega$), góc phải dùng đơn vị radian, không thể thay trực tiếp giá trị theo độ.
💡 Phương pháp 5 điểm để vẽ đồ thị
Khi vẽ đồ thị hàm sin và cos, hãy xác định chính xác ba điểm bằng 0 và hai điểm cực trị, nối chúng bằng đường cong mượt mà kiểu "sóng", đừng vẽ thành đường gấp khúc.